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紧接着上一篇文章,建议大家对照看,因为本文由很多公式的编号都直接调用上一篇,带来的不便敬请谅解。考虑函数:

只有一个不动点的情况,也就是函数:当然这里的abcd都不为零的
cx2+(d-a)x-b=0只有一个根,很显然,这个时候:
△=(a-d)2+4bc=0,bc=-(a-d)2/4………………⑦
设这个不动点为(p,p),将③式进行化简可得:其中(x1,y1)就是不动点,即x1=y1=p
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现在是,取适当的x2值,可以使得1/(x1-x2)的系数为1,即:

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也就是说,这个时候,原方程可以写成:
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回到我们的数列,这个时候,数列{1/(an-p)}就是一个以1/(a1-p)为首项,2c/(a+d)为公差的等比数列,从而可以求出an

上面的过程除了最后一步外,似乎没有用到函数只有一个不动点的条件。事实上,这个结论成立的条件就是他。现在我们来讨论上述结论成立的可行性,即:
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为了讨论这个问题,我们需要参考公式①,请翻回《齐次分式1》,我们将①变形为:(①里用的是x和x2,y和y2,这里就用x1和x2,y1和y2
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因此看来,只要x1是唯一的不动点,我们的条件成立与否只跟x1有关系,和x2没关系,于是我们得出了一个很超乎想象的结论:
只要x1是唯一的不动点,那么:
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回到我们的数列,我们有下面的定理。
对于形如an=(aan-1+b)/(can-1+d)这般递推公式,其必然有下面的性质:
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由此就可以求出an的通项公式。我想大家一定会想到,要是没有不动点怎么办,那好,这就不是高中探讨的范围,哈哈。作为本篇文章完成的标志,我们总结上一篇文章和这篇文章的结论,放在后面:
对于形如an=(aan-1+b)/(can-1+d)这般递推公式,其必然有下面的性质:
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由这两篇文章可以看出,原来所谓的不动点,就是因为他可以让等比形式的两边的参数一致,以构成等比或者等差数列。

紧接着上一篇文章,建议大家对照看,因为本文由很多公式的编号都直接调用上一篇,带来的不便敬请谅解。考虑函数:

只有一个不动点的情况,也就是函数:当然这里的abcd都不为零的
cx2+(d-a)x-b=0只有一个根,很显然,这个时候:
△=(a-d)2+4bc=0,bc=-(a-d)2/4………………⑦
设这个不动点为(p,p),将③式进行化简可得:其中(x1,y1)就是不动点,即x1=y1=p
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现在是,取适当的x2值,可以使得1/(x1-x2)的系数为1,即:

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也就是说,这个时候,原方程可以写成:
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回到我们的数列,这个时候,数列{1/(an-p)}就是一个以1/(a1-p)为首项,2c/(a+d)为公差的等比数列,从而可以求出an

上面的过程除了最后一步外,似乎没有用到函数只有一个不动点的条件。事实上,这个结论成立的条件就是他。现在我们来讨论上述结论成立的可行性,即:
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为了讨论这个问题,我们需要参考公式①,请翻回《齐次分式1》,我们将①变形为:(①里用的是x和x2,y和y2,这里就用x1和x2,y1和y2
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因此看来,只要x1是唯一的不动点,我们的条件成立与否只跟x1有关系,和x2没关系,于是我们得出了一个很超乎想象的结论:
只要x1是唯一的不动点,那么:
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回到我们的数列,我们有下面的定理。
对于形如an=(aan-1+b)/(can-1+d)这般递推公式,其必然有下面的性质:
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由此就可以求出an的通项公式。我想大家一定会想到,要是没有不动点怎么办,那好,这就不是高中探讨的范围,哈哈。作为本篇文章完成的标志,我们总结上一篇文章和这篇文章的结论,放在后面:
对于形如an=(aan-1+b)/(can-1+d)这般递推公式,其必然有下面的性质:
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由这两篇文章可以看出,原来所谓的不动点,就是因为他可以让等比形式的两边的参数一致,以构成等比或者等差数列。