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 建议各位读者在看这篇文章之前,先看这篇文章《一次函数与数列的拆与凑》。本篇文章所讲方法和之一致,只不过在内容上多了一些而已。
      今天探讨的,是形如an=(aan-1+b)/(can-1+d)这般递推公式的通项公式求法。稍微有点多,所以分两篇文章的篇幅写,到时候看的时候记得回过头来看。很多参考书上都有这种问题的解法,难是不难,但是很多学生会对其方法的来源感到莫名其妙。参考书基本上介绍的,就是所谓的不动点法,很多学生因此疑惑,不能够平滑地接受,此乃一大遗憾。我一直主张用已有知识来对其进行解释,《一次函数与数列的拆与凑》一文里已经有这种方法的介绍。今天也利用函数的角度来看待这个问题。
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      利用《一次函数》里的方法,我们考察函数:
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       这个函数是一个齐次分式函数。我们对其进行下面的变形:
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      这样,如果如果已知两点(x1,y1),(x2,y2),那么对于曲线上的任意一点(x,y),必然存在下面的关系(直接化简,推导过程略):
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      这样一来,如果该函数存在两个不动点(p,p),(q,q),那么这个方程就可以写成下面的形式:

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      千万注意k中p和q的位置关系,别搞乱了。那么回到我们的数列,对于形如an=(aan-1+b)/(can-1+d)这般递推公式,其必然有下面的性质:
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      这样一来,只要求出两个不动点,也就是(ax+b)/(cx+d)=x即方程:
      cx2+(d-a)x-b=0………………………………………………⑥
      的两个根p和q,就可以求出数列{(an-p)/(an-q)}的通项,从而求得an的通项。
      这里不得不提到的是。在一般的参考书里,得出来的公比k为:
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      事实上,我们得出来的结果和这个是一样的,因为:

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      由题意知道p≠q。根据p和q为方程⑥的两个根,根据韦达定理知,p+q=(a-d)/c,所以上式恒为零,这也就证明了这两者是相等的。也进一步证明本方法的正确性。
      不同的方法,一样的结果,但是个人认为,若用本方法给学生讲,我相信他们更容易接受,因为用的就是函数的知识,也对不同知识点之间进行了串联,应该是一举两得的事情。至少,这种方法让学生达到了“知其所以然”的效果。
      若这个函数有两个不同的不动点,我们已经解决,那若是他只有一个不动点的话,其情况又是如何呢?我将在明天继续为大家送上。到时候还得麻烦各位来回翻阅。

       大大地PS:因为新网DNS的问题,博客连续几天我本人无法打开,昨晚又碰上万州大风,断电,所以连续几天都没有写文章,还望见谅,不是我偷懒哟。这不是我给自己找理由,因为这本来就是理由。