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      二次函数是中学数学最经典的内容之一。主要取决于他那得天独厚的优势——他下面的一次函数很简单,他上面的三次函数又是很难。鉴于此,我将时不时地写点有关他的文章。今天我们来谈谈其中一种类型的题目——二次函数根的分布问题。
      结论:如果方程ax2+bx+c=0的两个根中,有且仅有一个在区间(m,m)里,那么其等价于在二次函数f(x)=ax2+bx+c里,f(m)f(n)<0。
      例:已知方程x2+(3m-4)x+4=0的两个根中,有且仅有一个根在区间(0,2)里,求m的取值范围。
      解:根据结论,其只需要f(0)f(2)<0,即4×6m<0,即m<0即可。
      以后这样的题目就可以直接这样做了。如果按照传统的办法一个一个去讨论的话,将会非常麻烦。事实上,按照传统的办法讨论,你会发现讨论来讨论去,其实就只要这样一个条件就满足。要学会举一反三,这个结论里面,只是说任何一个根都可以在区间里面,但是并没有指定是什么根,所以如果具体用法,要因题而异。
      关于这个结论的证明,从二次函数的图像就可以一窥一二。
      二次函数
   
  很多人可能一开始看到这个结论,立马就反应过来:难道无须判断判别式大于0么?也难怪,如果看见这道题,那么想到的第一个肯定是判别式大于零。但是事实上,只要f(m)f(n)<0了,就可以保证判别式大于0,所以就无须这一步。
      要注意的是,这里的区间是开区间,如果是闭区间,那又要稍微注意一下端点的问题,具体就留给大伙了。这是方程的两个根有且仅有一个根在区间里面的情况,另外的题目就简单多了,那就是两个根都在区间里面,或者是都不在区间里面
      对于这个问题,很显然地我们有下面的结论:
      如果两个根都在区间(m,n)里面,而且开口向上,那肯定有f(m)>0且f(n)>0.开口向下时以此可以类推,如果两个根都不在区间里面,那又是类似简单的问题,图一画就可以看出来的。
      同理,有问题,下面提问。